Der Weihnachtsmann baut am Nordpol ein riesiges Lebkuchenhaus und m\u00f6chte es mit Weihnachtsdekoration und Leckereien schm\u00fccken. Er bef\u00fcrchtet aber dass es zusammenf\u00e4llt, wenn es erst einmal geschm\u00fcckt ist. Die Stabilit\u00e4t dieses s\u00fc\u00dfen Bauwerks h\u00e4ngt davon ab, wie viele Zuckerstangen verwendet werden, um das Lebkuchendach zu st\u00fctzen. Die cleveren Wichtel haben herausgefunden, dass sie diese Stabilit\u00e4t mit einer speziellen mathematischen Formel (dem “Lebkuchenbruch-Polynom”), einer speziellen Tabelle (der “Lebkuchenbruch-Tabelle”) und einer speziellen Checkliste (dem “Rudolph-Hohohowitz-Kriterium”, das vor langer Zeit am Nordpol durch das fr\u00f6hliche Lachen des Weihnachtsmanns und Rudolph, das Rotnasige Rentier, entdeckt wurde) \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen. <\/p>\n\n\n\n
Um zu entscheiden, wie viele Zuckerstangen er verwenden soll, muss der Weihnachtsmann zun\u00e4chst das Lebkuchenbruch-Polynom ermitteln, dann die Lebkuchenbruch-Tabelle erstellen und anschlie\u00dfend das Rudolph-Hohohowitz-Kriterium auf diese Tabelle anwenden. Lasst uns gemeinsam diesem magischen Rezept folgen!<\/p>\n\n\n\n
Schritt 1 – Erstelle das Lebkuchenbruch-Polynom:<\/strong> Dabei handelt es sich um ein Polynom P(x,k)<\/strong>, das die Anzahl der Zuckerstangen k<\/strong> und den Faktor x<\/strong> f\u00fcr die Wackeligkeit der Lebkuchen in einen Stabilit\u00e4tsindex f\u00fcr Lebkuchen umwandelt. F\u00fcr das Haus, das dieses Jahr gebaut wird, haben die Wichtel bereits (mit der magischen Wichtel-Technik) berechnet, dass das Polynom lautet<\/p>\n\n\n\n P(x, k) = x\u00b3 + (1.5 \u2013 k)x\u00b2 + (5 + k)x + 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n (Mach dir keine Gedanken \u00fcber das Symbol x; es ist nur ein magischer Platzhalter, den die Wichtel zum Schreiben ihrer Formel verwenden.)<\/p>\n\n\n\n Schritt 2 – Erstelle die Lebkuchenbruch-Tabelle: <\/strong>Dazu wird zun\u00e4chst die ersten beiden Spalten mit dem Koeffizienten des Polynoms in abwechselnder Reihenfolge ausgef\u00fcllt. Anschlie\u00dfend werden die restlichen Spalten mit einigen magischen Formeln, die nur den Wichtel (und denen, die sich mit der geheimnisvollen Kunst der Kontrolltheorie besch\u00e4ftigen) bekannt sind. Die Tabelle sieht wie unten dargestellt aus – aber Vorsicht! Der schelmische Wichtel Snoodle hat eine der Zahlen gel\u00f6scht und die anderen Wichtel brauchen deine Hilfe, um die gesamte Tabelle auszuf\u00fcllen, damit sie die Stabilit\u00e4t testen k\u00f6nnen:<\/p>\n\n\n\n Schritt 3 – Wende das Rudolph-Hohohowitz-Kriterium an:<\/strong> Keine Sorge das ist ganz einfach, sobald die obige Tabelle ausgef\u00fcllt ist. Wenn du eine Anzahl von Zuckerstangen k <\/strong>findest, f\u00fcr die die erste Zeile der Tabelle nur positive Zahlen enth\u00e4lt, dann ist das Lebkuchenhaus stabil. Wenn du jedoch ein k <\/strong>w\u00e4hlst, f\u00fcr das eines der Elemente in dieser Zeile negativ ist, dann k\u00f6nnte das Haus unter all den Dekorationen zusammenbrechen! <\/p>\n\n\n\n Mach dir keine Sorgen, wenn die Tabelle geheimnisvoll aussieht – Du musst den Wichteln nur dabei helfen, f\u00fcr ein bestimmtes k <\/strong>zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob jede Zahl in der ersten Zahl in der ersten Zeile positiv bleibt!<\/p>\n\n\n\n a. \ud83c\udf6c\ud83c\udfe0\u2696\ufe0f Das Haus ist stabil, wenn eine ungerade Anzahl von Zuckerstangen verwendet wird. Spalte 1<\/th> Spalte 2<\/th> Spalte 3<\/th> Spalte 4<\/th><\/tr> 1<\/th> ???<\/th> 5 + k \u2013 2\/(1.5 \u2013 k)<\/th> 2<\/th><\/tr><\/thead> 5 + k<\/td> 2<\/td> 0<\/td> 0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
b. \ud83c\udf6c\ud83c\udfe0\ud83d\udd22 Das Haus ist stabil, wenn eine gerade Anzahl von Zuckerstangen verwendet wird, wodurch das Gewicht ausgeglichen bleibt.
c. \ud83c\udf6c\ud83c\udfe0\ud83d\udee0\ufe0f Das Haus ist stabil, solange mehr als vier Zuckerstangen verwendet werden.
d. \ud83c\udf6c\ud83c\udfe0\ud83d\ude2e \u00dcberraschenderweise ist das Haus mit nur einer Zuckerstange stabil, aber wenn man weitere hinzuf\u00fcgt, st\u00fcrzt es ein.
e. \ud83c\udf6c\ud83c\udfda\ufe0f\ud83d\udeabDas Haus wird niemals stabil sein, egal wie viele Zuckerstangen verwendet werden.<\/p>\n\n\n