Der Weihnachtsmann baut am Nordpol ein riesiges Lebkuchenhaus und möchte es mit Weihnachtsdekoration und Leckereien schmücken. Er befürchtet aber dass es zusammenfällt, wenn es erst einmal geschmückt ist. Die Stabilität dieses süßen Bauwerks hängt davon ab, wie viele Zuckerstangen verwendet werden, um das Lebkuchendach zu stützen. Die cleveren Wichtel haben herausgefunden, dass sie diese Stabilität mit einer speziellen mathematischen Formel (dem “Lebkuchenbruch-Polynom”), einer speziellen Tabelle (der “Lebkuchenbruch-Tabelle”) und einer speziellen Checkliste (dem “Rudolph-Hohohowitz-Kriterium”, das vor langer Zeit am Nordpol durch das fröhliche Lachen des Weihnachtsmanns und Rudolph, das Rotnasige Rentier, entdeckt wurde) überprüfen können.
Um zu entscheiden, wie viele Zuckerstangen er verwenden soll, muss der Weihnachtsmann zunächst das Lebkuchenbruch-Polynom ermitteln, dann die Lebkuchenbruch-Tabelle erstellen und anschließend das Rudolph-Hohohowitz-Kriterium auf diese Tabelle anwenden. Lasst uns gemeinsam diesem magischen Rezept folgen!
Schritt 1 – Erstelle das Lebkuchenbruch-Polynom: Dabei handelt es sich um ein Polynom P(x,k), das die Anzahl der Zuckerstangen k und den Faktor x für die Wackeligkeit der Lebkuchen in einen Stabilitätsindex für Lebkuchen umwandelt. Für das Haus, das dieses Jahr gebaut wird, haben die Wichtel bereits (mit der magischen Wichtel-Technik) berechnet, dass das Polynom lautet
P(x, k) = x³ + (1.5 – k)x² + (5 + k)x + 2
(Mach dir keine Gedanken über das Symbol x; es ist nur ein magischer Platzhalter, den die Wichtel zum Schreiben ihrer Formel verwenden.)
Schritt 2 – Erstelle die Lebkuchenbruch-Tabelle: Dazu wird zunächst die ersten beiden Spalten mit dem Koeffizienten des Polynoms in abwechselnder Reihenfolge ausgefüllt. Anschließend werden die restlichen Spalten mit einigen magischen Formeln, die nur den Wichtel (und denen, die sich mit der geheimnisvollen Kunst der Kontrolltheorie beschäftigen) bekannt sind. Die Tabelle sieht wie unten dargestellt aus – aber Vorsicht! Der schelmische Wichtel Snoodle hat eine der Zahlen gelöscht und die anderen Wichtel brauchen deine Hilfe, um die gesamte Tabelle auszufüllen, damit sie die Stabilität testen können:
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 | Spalte 4 |
|---|---|---|---|
| 1 | ??? | 5 + k – 2/(1.5 – k) | 2 |
| 5 + k | 2 | 0 | 0 |
Schritt 3 – Wende das Rudolph-Hohohowitz-Kriterium an: Keine Sorge das ist ganz einfach, sobald die obige Tabelle ausgefüllt ist. Wenn du eine Anzahl von Zuckerstangen k findest, für die die erste Zeile der Tabelle nur positive Zahlen enthält, dann ist das Lebkuchenhaus stabil. Wenn du jedoch ein k wählst, für das eines der Elemente in dieser Zeile negativ ist, dann könnte das Haus unter all den Dekorationen zusammenbrechen!
Mach dir keine Sorgen, wenn die Tabelle geheimnisvoll aussieht – Du musst den Wichteln nur dabei helfen, für ein bestimmtes k zu überprüfen, ob jede Zahl in der ersten Zahl in der ersten Zeile positiv bleibt!
a. 🍬🏠⚖️ Das Haus ist stabil, wenn eine ungerade Anzahl von Zuckerstangen verwendet wird.
b. 🍬🏠🔢 Das Haus ist stabil, wenn eine gerade Anzahl von Zuckerstangen verwendet wird, wodurch das Gewicht ausgeglichen bleibt.
c. 🍬🏠🛠️ Das Haus ist stabil, solange mehr als vier Zuckerstangen verwendet werden.
d. 🍬🏠😮 Überraschenderweise ist das Haus mit nur einer Zuckerstange stabil, aber wenn man weitere hinzufügt, stürzt es ein.
e. 🍬🏚️🚫Das Haus wird niemals stabil sein, egal wie viele Zuckerstangen verwendet werden.
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